Procesos en redes: modelos SIS/SIR, umbrales, intervención y dinámica temporal

SIS vs SIR: dos preguntas distintas

Ambos modelos definen reglas locales de transición sobre una red. Pero responden preguntas diferentes y privilegian métricas diferentes.

Aspecto	SIS	SIR
Secuencia	S → I → S	S → I → R
Pregunta central	¿La infección persiste?	¿Qué tan grande es el brote?
Objeto teórico	Prevalencia estacionaria	Tamaño final / percolación
Intuición estructural	Hubs como reservorios	Alcance geométrico del brote
Herramienta clásica	HMF, QMF, radio espectral	Transmissibility, percolación

Las visualizaciones de esta herramienta usan redes pequeñas (≤100 nodos) con tiempo discreto y actualización sincrónica. Los resultados ilustran tendencias cualitativas, no reproducen predicciones teóricas asintóticas.

Exploración interactiva: dinámica en un grafo pequeño

Observa cómo se propaga un contagio paso a paso. Cada nodo cambia de color según su estado.

Modelo

β (transmisión) 0.15

μ (recuperación) 0.15

Susceptible

Infectado

Recuperado

0

Paso

—

S

—

I

—

R

Regla microscópica

En cada paso discreto, cada nodo infectado intenta contagiar a cada vecino susceptible con probabilidad β, y luego se recupera con probabilidad μ. En SIR pasa a R; en SIS vuelve a S.

El cociente λ = β/μ actúa como parámetro de control efectivo. Pero el umbral depende también de la estructura de la red.

En SIR, Newman (2002) demostró que el tamaño final del brote es exactamente equivalente a un problema de bond percolation para redes estáticas aleatorias con transmissibility T por enlace.

Umbral epidémico: dos aproximaciones

¿Existe un valor crítico de transmisibilidad tal que, por debajo, el brote muere rápido, y por encima, puede sostenerse? Ese valor es el umbral epidémico, y es una propiedad conjunta de dinámica + estructura.

HMF: el papel de ⟨k²⟩

λ_c^HMF = ⟨k⟩ / ⟨k²⟩

Si la red tiene hubs (⟨k²⟩ grande), el umbral baja: la heterogeneidad facilita la persistencia porque los hubs actúan como reservorios dinámicos.

Esta fórmula es rigurosa dentro del esquema HMF para SIS en redes no correlacionadas. No es una identidad universal. En redes finitas reales, lo correcto es hablar de umbral efectivo bajo, no necesariamente cero.

QMF / Espectral: el papel de λ₁(A)

λ_c^QMF ≈ 1 / λ₁(A)

El radio espectral captura la capacidad de amplificación estructural de la red completa, no solo la distribución de grados.

1/λ₁(A) es una aproximación clásica e informativa para SIS, no "el umbral exacto". La literatura posterior (Castellano & Pastor-Satorras, 2010) muestra que el comportamiento asintótico puede ser más sutil.

Comparación estructural interactiva

Genera tres redes del mismo tamaño y compara sus proxies de umbral.

N (nodos)

Si dos redes tienen proxies muy distintos, es razonable esperar regímenes de difusión distintos. No es correcto prometer el valor exacto del umbral a partir de un solo proxy.

Simulación SIR: trayectorias y Monte Carlo

Una sola corrida puede engañar: la semilla inicial y el azar dominan. Por eso repetimos y promediamos.

Topología

β 0.06

μ 0.25

Repeticiones

Las redes generadas aquí son pequeñas (N=150). Los resultados ilustran tendencias cualitativas. No sustituyen un análisis analítico del umbral ni deben extrapolarse a redes de otro tamaño sin cautela.

Transición empírica: barrido de λ

Varía λ = β/μ y observa dónde el brote deja de ser pequeño. Esto muestra una zona de transición empírica, no un umbral analítico exacto.

Topología

Estrategias de intervención

Si remuevo o inmunizo ciertos nodos, ¿cuánto se reduce el brote? Tres estrategias clásicas:

Estrategia	Criterio	Intuición
Random	Al azar	Baseline
Degree	Mayor grado primero	Corta muchos contactos potenciales
k-core	Mayor coreness primero	Desarma el núcleo donde la difusión se sostiene

No existe un ganador universal para todos los procesos y todas las métricas (Bramson et al., 2016). El ranking depende del proceso (SIR vs SIS), la red y el criterio de evaluación.

Comparación interactiva

Fracción inmunizada 10%

β 0.06

La comparación es sobre una red BA de 150 nodos con SIR discreto. Al remover nodos cambian tamaño y conectividad; comparamos siempre contra un baseline explícito.

Red temporal vs red agregada

La red agregada responde: ¿quién estuvo conectado con quién en algún momento?
La red temporal responde: ¿existió una secuencia cronológicamente válida para transmitir?

No son la misma pregunta. El orden de los contactos es parte del mecanismo, no un detalle de formato.

Ejemplo interactivo

Una cadena de contactos con timestamps. El nodo 0 inicia infectado. Compara qué nodos se alcanzan temporalmente vs en la red agregada.

β (transmisión por contacto) 0.90

Red temporal (contactos ordenados)

Red agregada (todos los contactos)

La red agregada sobreestima accesibilidad cuando ignora restricciones temporales. Este es un resultado metodológico sólido (Holme, 2015).

Idea central de la clase

"La importancia de un nodo depende del proceso dinámico que ocurre sobre la red, del horizonte temporal y del criterio de desempeño."

No existe una centralidad universalmente correcta. La medida adecuada depende del mecanismo de propagación y del objetivo de intervención.

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